Question

（1）證明：函數(shù)f（x）=x+

4

x

在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）探究函數(shù)f（x）=x+

a

x

（a＞0）的單調(diào)性（只需寫出結(jié)論，不用證明）．

Answer 1

分析：（1）利用增函數(shù)的定義即可證明；
（2）利用奇函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及“勾函數(shù)”的性質(zhì)即可得出．

解答：解：（1）f（x）在（0，2]上是減函數(shù)，在[2，+∞）上是增函數(shù)．
證明：設(shè)任意x₁，x₂∈（2，+∞），且x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=x1-x2+

4

x1

-

4

x2

=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

，
由x₁＜x₂得x₁-x₂＜0，由x₁，x₂∈（2，+∞）得x₁x₂＞4．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）=x+

4

x

在（2，+∞）上單調(diào)遞增．        
（2）由上及f（x）是（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數(shù)，可得結(jié)論：
f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上是增函數(shù)，
f（x）在[-

a

，0)和(0，

a

]上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握奇函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性及“勾函數(shù)”的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．