Question

【題目】已知函數（, 是自然對數的底數）.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析: （Ⅰ）先求出函數的導函數,將代入可得在此切點處的斜率,再由曲線方程可求出切點坐標,利用點斜式式寫出切線方程; （Ⅱ）求出的導函數函數,令為,再求的導函數,去判斷的單調性,再進一步判斷的單調性,可求出的最小值,將恒成立問題轉為關于的不等式即可.注意對的分類討論.

試題解析:（Ⅰ）當時，有，

則．

又因為，

∴曲線在點處的切線方程為，即．

（Ⅱ）因為，令

有（）且函數在上單調遞增

當時，有，此時函數在上單調遞增，則

（ⅰ）若即時，有函數在上單調遞增，

則恒成立；

（ⅱ）若即時，則在存在，

此時函數在 上單調遞減， 上單調遞增且，

所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；

當時，有，則在存在，此時上單調遞減， 上單調遞增所以函數在上先減后增．

又，則函數在上先減后增且．

所以不等式不可能恒成立，故不符合題意；

綜上所述，實數的取值范圍為．