Question

（本小題滿分14分）橢圓E的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率，過點C（-1，0）的直線l交橢圓于A、B兩點，且滿足：（λ≥2）。
（1）若λ為常數，試用直線l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面積；
（2）若λ為常數，當三角形OAB的面積取得最大值時，求橢圓E的方程；
（3）若λ變化，且λ=k²+1，試問：實數λ和直線l的斜率k（k∈R）分別為何值時，橢圓E的短半軸長取得最大值？并求出此時的橢圓方程。

Answer 1

同解析

解：設橢圓方程為：（a＞b＞ 0），由及a²=b²+c²得a²=3b²，故橢圓方程為x²+3y²=3b²…①                （1分）
（1）∵直線L：y=k（x+1）交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，
并且（λ≥2）
∴（x₁+1，y₁）=λ（-1-x₂，-y₂），即……②
把y=k（x+1）代入橢圓方程,得:（3k²+1）x²+6k²x+3k²-3b²=0,且△=k²（3b²-1）+b²>0,
∴……③……④   （3分）
∴
聯立②、③得：∴（5分）
（2）
當且僅當即時，S_△OAB取得最大值。
此時，又∵x₁+1=-λ（x₂+1），
∴，代入④得：故此時橢圓的方程為
（10分）
（3）由②．③聯立得：將x₁．x₂代入④得：由k²=λ-1
得：
易知：當λ≥2時，3b²是λ的減函數，故當λ=2時，（3b²）_max=3．故當λ=2，
k=±1時，橢圓短半軸長取得最大值，此時橢圓方程為x²+3y²=3。（14分）