Question

【題目】已知函數，且曲線在點處的切線方程為.

（1）求實數的值及函數的最大值；

（2）證明：對任意的.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】分析：（1）求出導函數，已知切線方程說明，，代入后可得，然后確定函數的單調區間，得出最大值；

（2）不等式為，可用導數求得的最小值，證明這個最小值大于0，即證得原不等式成立．

詳解：（1）函數的定義域為，，因的圖象在點處的切線方程為，所以解得，所以，故．令，得，

當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．

所以當時，取得最大值．

（2）證明：原不等式可變為則

，可知函數單調遞增，

而，

所以方程在（0，+∞）上存在唯一實根x0，即．

當x∈（0，x0）時，，函數h（x）單調遞減；

當x∈（x0，+∞）時，，函數h（x）單調遞增；所以

.

即在（0，+∞）上恒成立，

所以對任意x＞0，成立．