Question

已知函數f（x）=x|sinx|+（b²-1）cosx，則b=1是函數f（x）為奇函數的（　　）

A．充分必要條件

B．充分而不必要條件

C．必要而不充分條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：結合函數的奇偶性的定義，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．

解答：解：當b=1時，f（x）=x|sinx|+（b²-1）cosx=x|sinx|，則f（-x）=-x|sinx|=-f（x），∴函數f（x）為奇函數．
若函數f（x）為奇函數的，則f（-x）=-f（x），
即f（-x）=-x|sinx|+（b²-1）cosx=-（x|sinx|+（b²-1）cosx）=-x|sinx|-（b²-1）cosx，
∴（b²-1）cosx=-（b²-1）cosx，即b²-1=-（b²-1），解得b²-1=0，
即b=±1．
∴b=1是函數f（x）為奇函數的充分不必要條件．
故選：B．

點評：本題主要考查函數奇偶性的應用，以及充分條件和必要條件的判斷．