Question

（2010•陜西一模）（考生注意：請在下列三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評閱記分．）
A．（坐標系與參數方程選做題）在極坐標系中，兩點A(3，

π

3

)，B(4，

2π

3

)間的距離是

13

．
B．（不等式選講選做題）若不等式|x+1|+|x-2|＞5的解集為

（-∞，-2）∪（3，+∞）

．
C．（幾何證明選講選做題）如圖，點A，B，C是圓O上的點，且BC=6，∠BAC=120°，則圓O的面積等于

12π

．

Answer 1

分析：A，可設極點為O，則∠AOB=

π

3

，而|OA|=3，|OB|=4，由余弦定理即可求得AB兩點間的距離；
B，可構造函數f（x）=|x+1|+|x-2|=

-2x+1 (x≤-1) 3      (-1＜x＜2) 2x-1  (x≥2)

，由f（x）＞5即可求得其解集；
C，由正弦定理

|BC|

sin∠BAC

=2R（R為圓O的半徑）即可求得R，從而可得圓O的面積．

解答：解：A：設極點為O，∵在極坐標系中，兩點為A(3，

π

3

)，B(4，

2π

3

)，
∴∠AOB=

π

3

，又|OA|=3，|OB|=4，
∴|AB|²=|OA|²+|OB|²-2|OA|•|OB|cos∠AOB=9+16-2×3×4×

1

2

=13，
∴|AB|=

13

；
B：令f（x）=|x+1|+|x-2|，則f（x）=

-2x+1 (x≤-1) 3      (-1＜x＜2) 2x-1  (x≥2)

，
∵|x+1|+|x-2|＞5，
∴當x≤-1，-2x+1＞5，解得x＜-2
當-1＜x＜2，有3＞5（舍去）
當x≥2，2x-1＞5解得x＞3．
綜上所述，f（x）＞5的解集為{x|x＜-2或x＞3}；
C：在△ABC中，設△ABC中的外接圓的半徑為R，面積為S，
∵BC=6，∠BAC=120°，
∴由正弦定理得：

|BC|

sin∠BAC

=2R，即

6

sin120°

=4

3

=2R，
∴R=2

3

，
∴S=πR²=12π．
故A的答案為：

13

；B的答案為：{x|x＜-2或x＞3}；C的答案為：12π．

點評：本題A考查簡單曲線的極坐標方程，B考查絕對值不等式，C考查正弦定理，著重考查正弦定理與余弦定理的應用及絕對值不等式的解法，屬于基礎題．