Question

已知兩點M（-5，0），N（5，0），若直線上存在點P使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為B型直線，給出下列直線：
①y=x+1
②y=2  
③y=

4

3

x 
④y=2x+1
其中為B型直線的是（　　）

A．①③

B．③④

C．①②

D．②④

Answer 1

分析：根據雙曲線的定義，可得點P的軌跡是以M、N為焦點，2a=6的雙曲線，由此算出雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=1．再分別判斷雙曲線與四條直線的位置關系，可得只有①②的直線上存在點P滿足B型直線的條件，由此可得答案．

解答：解：∵點M（-5，0），N（5，0），點P使|PM|-|PN|=6，
∴點P的軌跡是以M、N為焦點，2a=6的雙曲線
可得b²=c²-a²=5²-3²=16，雙曲線的方程為

x2

9

-

y2

16

=1
∵雙曲線的漸近線方程為y=±

4

3

x
∴直線y=

4

3

x與雙曲線沒有公共點，
直線y=2x+1經過點（0，1）斜率k＞

4

3

，與雙曲線也沒有公共點
而直線y=x+1、與直線y=2都與雙曲線

x2

9

-

y2

16

=1有交點
因此，在y=x+1與y=2上存在點P使|PM|-|PN|=6，滿足B型直線的條件
只有①②正確
故選：C

點評：本題給出“B型直線”的定義，判斷幾條直線是否為B型直線，著重考查了雙曲線的定義標準方程、直線與雙曲線的位置關系等知識，屬于基礎題．