Question

【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為 , ．過 且斜率為 的直線 與橢圓 相交于點 , ．當 時，四邊形 恰在以 為直徑，面積為 的圓上．
（Ⅰ）求橢圓 的方程；
（Ⅱ）若 ，求直線 的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當 時，直線 軸，
又四邊形 恰在以 為直徑，面積為 的圓上，
∴四邊形 為矩形，且 ．
∴點 的坐標為 ．
又 ，
∴ ．
設 ，則 ．
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴橢圓 的方程為 ．

（Ⅱ）將 與橢圓方程聯立得 ，
設 ， ，得 ， ．
故
．
又 ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
∴直線 的方程為
【解析】本題考查橢圓標準方程的求法，考查橢圓與直線的位置關系，解題時要認真審題，注意橢圓性質、韋達定理、橢圓與直線的位置關系的合理運用．直線與圓錐曲線的綜合問題是高考的必考點，比方說求封閉面積，求距離，求他們的關系等等，常用的方法就是聯立方程求出交點的橫坐標或者縱坐標的關系，通過這兩個關系的變形去求解．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．