Question

函數.
（1）令，求的解析式；
（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍；
（3）證明：.

Answer 1

（1）；（2）實數的取值范圍;（3）詳見解析.

試題分析：（1）因為,故, ,,,由此可得,是以4為周期,重復出現,故;（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍,由得,,即在上恒成立，令,只需求出在上的最小值即可,可利用導數法來求最小值;（3）證明：,由（2）知：時，,即,這樣得到，令，疊加即可證出．
試題解析：(1)…周期為4，
.
（2）方法一：即在上恒成立，
當時，；
當時，，設，
，
設，
，則時，增；減.
而，所以在上存在唯一零點，設為，則
,所以在處取得最大值，在處取得最小值，.
綜上：.
方法二：設，.
.
當時，在上恒成立，成立，故；
當時，在上恒成立，得，無解.
當時，則存在使得時增，時減，
故，，解得，故.
綜上：.
（3）由（2）知：時，
即.
當時，，
，

=，
.