Question

（本題滿分14分）
拋物線D以雙曲線的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)．
（1）求拋物線D的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過直線上的動點(diǎn)P作拋物線D的兩條切線，切點(diǎn)為A，B．求證：直線AB過定點(diǎn)Q，并求出Q的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，若直線PQ交拋物線D于M，N兩點(diǎn)，求證：|PM|·|QN|=|QM|·|PN|

Answer 1

（1）
（2）（1，1）
（3）證明見解析。

（1）由題意，
所以，拋物線D的標(biāo)準(zhǔn)方程為                                         …………3分
（2）設(shè)
由
拋物線D在點(diǎn)A處的切線方程為…………4分
而A點(diǎn)處的切線過點(diǎn)
即
同理，
可見，點(diǎn)A，B在直線上．
令
所以，直線AB過定點(diǎn)Q（1，1）                                                               …………6分
（3）設(shè)
直線PQ的方程為

由
得
由韋達(dá)定理，                     …………9分
而

…………12分
將代入方程（*）的左邊，得
（*）的左邊

=0．
因而有|PM|·|QN|=|QM|·|PN|．                                                    …………14分