Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是離心率為的橢圓

C：(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，直線：x＝－將線段F₁F₂分成兩段，其長(zhǎng)度之比為1 : 3．設(shè)A，B是C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)M在直線l上，線段AB的中垂線與C交于P，Q兩點(diǎn)．

(Ⅰ) 求橢圓C的方程；

(Ⅱ) 是否存在點(diǎn)M，使以PQ為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F₂，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)  (2)

【解析】

試題分析：解：(Ⅰ) 設(shè)F2(c，0)，則＝，所以c＝1．因?yàn)殡x心率e＝，所以a＝．

所以橢圓C的方程為．   4分

(Ⅱ) 當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí)，直線AB方程為x＝－， 6分

此時(shí)P(，0)、Q(,0) ，．不合；

當(dāng)直線AB不垂直于x軸時(shí)，設(shè)存在點(diǎn)M(－，m) (m≠0)，直線AB的斜率為k， ，

．由  得，則 －1＋4mk＝0，

故k＝．此時(shí)，直線PQ斜率為，PQ的直線方程為．

即 ．

聯(lián)立消去y，整理得  ．

所以，． 8分

由題意0，于是

(x1－1)(x2－1)＋y1y2

                      =0．

因?yàn)镸在橢圓內(nèi)，符合條件； 12分

綜上，存在兩點(diǎn)M符合條件，坐標(biāo)為． 13分

考點(diǎn)：橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的運(yùn)用，要借助于代數(shù)方法聯(lián)立方程組來(lái)的得到，屬于基礎(chǔ)題。