Question

已知函數.
(1)求的單調區間；
(2)若對于任意的,有恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）當k>0時，的單調遞增區間是（）和；單調減區間是;
當k<0時，的單調遞減區間是（）和；單調增區間是
（2）

試題分析：（1）由題意可得
令，得.
當k>0時，的情況如下

x	()		(,k)	k
	+	0	—	0	+
	↗		↘	0	↗

所以，的單調遞增區間是（）和；單調減區間是;
當k<0時，的情況如下

x	()	k	(k,)
	—	0	+	0	—
	↘	0	↗		↘

所以，的單調遞減區間是（）和；單調增區間是
（2）當k>0時，因為，所以不會有
當k<0時，由（Ⅰ）知在（0，+）上的最大值是
所以等價于
解得.
故當時，k的取值范圍是
點評：導數是研究函數性質的有力工具，研究函數時，首先要看函數的定義域，求單調區間、極值、最值時，往往離不開分類討論，主要考查學生的分類討論思想的應用和運算求解能力.