Question

在單調遞增數列{a_n}中，a₁=2，不等式(n+1)a_n≥na_2n對任意n∈N*都成立，
（Ⅰ）求a₂的取值范圍；
（Ⅱ）判斷數列{a_n}能否為等比數列？說明理由；
（Ⅲ）設，求證：對任意的n∈N*，。

Answer 1

（Ⅰ）解：因為{a_n}是單調遞增數列，所以，
令n=1，，所以。
（Ⅱ）證明：數列{a_n}不能為等比數列。
用反證法證明：假設數列{a_n}是公比為q的等比數列，，
因為{a_n}單調遞增，所以q＞1，
因為n∈N*，(n+1)a_n≥na_2n都成立，
所以n∈N*，， ①
因為q＞1，所以，使得當時，，
因為（n∈N*），
所以，當時，，與①矛盾，故假設不成立。
（Ⅲ）證明：觀察：，，…，
猜想：；
用數學歸納法證明：
（1）當n=1時，成立；
（2）假設當n=k時，成立；
當n=k+1時，

，
所以，
根據（1）（2）可知，對任意n∈N*，都有，即，
由已知得，
所以，
所以當n≥2時，，
因為，
所以對任意n∈N*，，
對任意n∈N*，存在m∈N*，使得，
因為數列{a_n}單調遞增，所以，，
因為，
所以。