Question

分別求滿足下列條件的函數f（x）的解析式．
（Ⅰ）f（x+1）=x²+x；
（Ⅱ）f(x+

1

x

)=x2+

1

x2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）方法一：由f（x+1），用湊元法把解析式x²+x表示為（x+1）的形式；
方法二：換元法，設t=x+1，則x=t-1，計算f（t）即可；
（Ⅱ）由f（x+

1

x

），用湊元法把解析式x²+

1

x2

表示為（x+

1

x

）的形式．

解答：解：（Ⅰ）方法一：∵f（x+1）=x²+x=（x+1）²-（x+1），∴f（x）=x²-x；
方法二：設t=x+1，則x=t-1，∴f（t）=（t-1）²+（t-1）=t²-t，即f（x）=x²-x；
（Ⅱ）∵f(x+

1

x

)=x2+

1

x2

=x²+2+

1

x2

-2=(x+

1

x

)2-2；∴f（x）=x²-2．

點評：本題考查了用換元法或湊元法求函數解析式的問題，解題時要根據題目，選擇適當的方法，以便正確解答．