Question

以下四個命題：
①平面內與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線；
②拋物線y=ax²的焦點到原點的距離是

|a|

4

；
③直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=x₁+x₂+p；
④正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y²=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長為4

3

p．其中正確命題的序號是

④

．

Answer 1

分析：對于①當定點F正好在定直線l上時，平面內與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡不是拋物線；
②先把拋物線方程整理成標準方程，進而根據拋物線的性質可得焦點坐標．
③只有當直線l是過拋物線焦點的直線時，直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=x₁+x₂+p才成立；
④設另外兩個頂點的坐標分別為 （

m2

2p

， m），（

m2

2p

， -m），由 tan30°=

m

m2 2p

，解得 m的值．

解答：解：①當定點F正好在定直線l上時，平面內與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡不是拋物線；故錯；
②當a＞0時，整理拋物線方程得x²=

1

a

y，p=

1

2a

∴焦點坐標為 (0，

1

4a

)，拋物線y=ax²的焦點到原點的距離是

1

4|a|

；故錯；
③當直線l不是過拋物線焦點的直線時，直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于兩點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=x₁+x₂+p不成立，故③錯；
④設正三角形另外兩個頂點的坐標分別為 （

m2

2p

， m），（

m2

2p

， -m），由 tan30°=

3

3

=

m

m2 2p

，
解得 m=2

3

p，故這個正三角形的邊長為  2m=4

3

p，
故正三角形的一個頂點位于坐標原點，另外兩個頂點在拋物線y²=2px（p＞0）上，則此正三角形的邊長為4

3

p正確．
其中正確命題的序號是 ④．
故答案為：④．

點評：本題考查拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，利用拋物線的定義是解題的關鍵．④直角三角形中的邊角關系，設出另外兩個頂點的坐標，是解題的突破口．