Question

【題目】已知函數f（x）對一切實數x，y都有f（x+y）﹣f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若g（x）=kx﹣2k+5，對任意的m∈[1，4]，總存在n∈[1，4]，使得f（m）=g（n）成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=﹣1，y=1，則由已知f（0）﹣f（1）=﹣1（﹣1+2+1）

∴f（0）=﹣2

（2）解：令y=0，則f（x）﹣f（0）=x（x+1）

又∵f（0）=﹣2

∴f（x）=x2+x﹣2

（3）解：記f（x）=x2+x﹣2，x∈[1，4]，值域為A，g（x）=kx﹣2k+5，x∈[1，4]，值域為B，

∵對任意的m∈[1，4]，總存在n∈[1，4]使f（m）=g（n），

∴AB

又f（x）=x2+x﹣2的對稱軸 ，

∴f（x）在[1，4]上單增，

∴f（x）min=0，f（x）max=18，

∴A=[0，18]

又g（x）=kx﹣2k+5，x∈[1，4]

①當k=0時，g（x）=5，

∴B={5}不合題意；

②當k＞0時，g（x）在[1，4]上單增，

∴B=[5﹣k，2k+5]，又AB

∴ ，

∴

③當k＜0時，g（x）在[1，4]上單減，

∴B=[2k+5，5﹣k]，又AB

∴ ，

∴k≤﹣13

所以k的取值范圍為：k≤﹣13或

【解析】（1）利用賦值法，令x=﹣1，y=1，可求f（0）（2）利用賦值法，令y=0，則f（x）﹣f（0）=x（x+1），結合f（0）=﹣2可求（3）設函數f（x）x∈[1，4]的值域為A，g（x），x∈[1，4]的值域為B，由題意可得AB，由二次函數的性質可求A，對g（x）=kx﹣2k+5，x∈[1，4]，分類討論：①當k=0時，②當k＞0，③當k＜0時，結合函數g（x）在[1，4]上單調性可求B，從而可求k的范圍
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的性質和二次函數在閉區間上的最值的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減；當時，當時，；當時在上遞減，當時，．