Question

已知數列{a_n}中，a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0，（n≥2，n∈N）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，求數列{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數列遞推式,數列的求和

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）利用疊加法，即可求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用裂項法，可求數列{b_n}的通項公式．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₁=2，a_n-a_n-1-2n=0（n≥2，n∈N）
∴當n≥2時，a_n-a_n-1=2n，a_n-1-a_n-2=2（n-1），…，a₃-a₂=2×3，a₂-a₁=2×2，
∴a_n-a₁=2[n+（n-1）+…+3+2]，
∴an=2[n+(n-1)+…+3+2+1]=2

n(n+1)

2

=n(n+1)
當n=1時，a₁=1×（1+1）=2也滿足上式，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=n（n+1）
（Ⅱ）bn=

1

an+1

+

1

an+2

+…+

1

a2n

=

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

+…+

1

2n(2n+1)

=

1

(n+1)

-

1

(n+2)

+

1

(n+2)

-

1

(n+3)

+…+

1

2n

-

1

(2n+1)

=

1

(n+1)

-

1

(2n+1)

=

n

2n2+3n+1

點評：本題考查數列的通項與求和，正確運用疊加法、裂項法是解題的關鍵．