Question

已知平面向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ）（α、β∈R）．當α=

π

2

，β=

π

6

時，

a

•

b

的值為

 

；若

a

=λ

b

，則實數λ的值為

 

．

Answer 1

分析：由向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），根據平面向量的數量積運算公式，我們可將

a

•

b

變形為兩角差的余弦，然后將α=

π

2

，β=

π

6

代入即可得到第一空的答案；再根據

a

=λ

b

，則表示向量

a

、

b

共線，又由

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ）我們易得，|

a

|=|

b

|=1，則

a

與

b

同向或反向，由向量相等或相反的定義，易求出實數λ的值．

解答：解：∵

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴

a

•

b

=cosα×cosβ-sinα×sinβ=cos（α-β），
當α=

π

2

，β=

π

6

時，

a

•

b

=cos（

π

2

-

π

6

）=cos

π

3

=

1

2

∵當

a

=λ

b

時，向量

a

、

b

共線
又∵|

a

|=|

b

|=1
∴

a

與

b

同向或反向
∴

a

=±

b

故λ=±1
故答案為：

1

2

，±1

點評：熟練掌握平面向量的數量積公式是解答向量數量積問題的關鍵，其公式可簡記為“橫乘橫加縱乘縱”而若

a

=λ

b

表示兩個向量共線（平行）是解決向量共線（平行）問題最常用的性質．