Question

（本小題滿分15分）
（Ⅰ）如圖1，是平面內的三個點，且與不重合，是平面內任意一點，若點在直線上，試證明：存在實數，使得：.
（Ⅱ）如圖2,設為的重心,過點且與、（或其延長線）分別交于點，若，，試探究：的值是否為定值，若為定值，求出這個定值；若不是定值，請說明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）為定值.

點在直線上，則點A,B,C共線，考查向量共線定理，，將所有向量用P起始點，得出：
；
為的重心，
分別得出向量 ，及向量的關系。
解：（Ⅰ）由于三點共線，所以存在實數使得：
，                        ………3分
即               ………5分
化簡為
結論得證.                           ………7分
（Ⅱ）連結，因為為的重心，
所以：………10分
又因為，
所以………12分
由（Ⅰ）知： 所以為定值.…15分