Question

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率e＝，一條準線方程為x＝
(1)求橢圓C的方程；
(2)設G、H為橢圓C上的兩個動點，O為坐標原點，且OG⊥OH.
①當直線OG的傾斜角為60°時，求△GOH的面積；
②是否存在以原點O為圓心的定圓，使得該定圓始終與直線GH相切？若存在，請求出該定圓方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）①S_△GOH＝②x²＋y²＝

(1)因為＝，＝，a²＝b²＋c^2,
解得a＝3，b＝，所以橢圓方程為
(2)①由解得由　得
所以OG＝，OH＝，所以S_△GOH＝.
②假設存在滿足條件的定圓，設圓的半徑為R，則OG·OH＝R·GH，
因為OG²＋OH²＝GH²，故，
當OG與OH的斜率均存在時，不妨設直線OG方程為y＝kx,
由得所以OG²＝，
同理可得OH²＝，(將OG²中的k換成－可得)，R＝，
當OG與OH的斜率有一個不存在時，可得，
故滿足條件的定圓方程為：x²＋y²＝