Question

已知函數f（x）=-a²x²+ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）我們稱使f（x）=0成立的x為函數的零點．證明：當a=1時，函數f（x）只有一個零點；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（1，+∞）上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲證明當a=1時，函數f（x）只有一個零點，只須證明f（x）在（0，1）為增函數即可，最后只須證明f′（x）＞0即可；
（II）先求出原函數的導數，再根據函數f（x）在（1，+∞）上為單調函數，將原問題轉化為f′（x）≤0在（1，+∞）恒成立問題，列出關于a的不等關系解之即得．

解答：（Ⅰ）證明：∵f′(x)=-

(2x+1)(x-1)

x

(x＞0)f（x）在（0，1）為增函數，
在（1，+∞）上為減函數．∴f（x）的最大值為f（1）=0，
∴f（x）在（0，+∞）只有一個零點．（4分）
（Ⅱ）解：∵f′(x)=-

2a2x2-ax-1

x

=-

(2ax+1)(ax-1)

x

①當a=0時，不成立．
②當a＞0時，f'（x）＜0，得x＞

1

a

，∴

1

a

≤1，a≥1．
③當a＜0時，f'（x）＜0，得x＞-

1

2a

，∴-

1

2a

≤1，a≤-

1

2

綜上得：a∈(-∞，-

1

2

]∪[1，+∞)（12分）

點評：本小題主要考查函數利用導數研究函數的單調性、函數零點的判定定理、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．