Question

（本題滿分12分）
已知動圓過點，且與圓相內切.
（1）求動圓的圓心的軌跡方程；
（2）設直線（其中與（1）中所求軌跡交于不同兩點，D，與雙曲線交于不同兩點，問是否存在直線，使得向量，若存在，指出這樣的直線有多少條？若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）圓，圓心的坐標為，半徑.
∵，∴點在圓內.        
設動圓的半徑為，圓心為，依題意得，且，
即.                                              
∴圓心的軌跡是中心在原點，以兩點為焦點，長軸長為的橢圓,設其方程為
, 則.∴.
∴所求動圓的圓心的軌跡方程為. …………………………………4分
(2)由 消去化簡整理得：
設，，則……………………………………6分
△. ①
由 消去化簡整理得：.
設，則,
△. ② ……………………………………8分
∵，∴，即，
∴.∴或.解得或……… 10分                                                                  
當時,由①、②得 ，
∵Z,，∴的值為 ，，;
當，由①、②得 ，
∵Z,，∴.
∴滿足條件的直線共有9條．………………………………………………12分

解析