Question

已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，且滿足，其中.

（Ⅰ）求a的值

（Ⅱ）若數(shù)列與數(shù)列有公共項(xiàng)，將所有公共項(xiàng)按原順序排列后構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）記（Ⅱ）中數(shù)列的前項(xiàng)之和為，求證：

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Answer 1

（Ⅰ）.  （Ⅱ）.  （Ⅲ）同解析

解析:

（Ⅰ）由題設(shè).                            

由已知，所以.又b＞0，所以a＜3.    

因?yàn)?img width=109 height=21 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/114/202714.gif" >，則.又a＞0，所以b＞2，從而有.      

因?yàn)?img width=52 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/117/202717.gif" >，故.                                                      

（Ⅱ）設(shè)，即.                             

因?yàn)?img width=37 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/109/202709.gif" >，則，所以.                    

因?yàn)?img width=61 height=19 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/124/202724.gif" >，且b∈N*，所以，即，且b＝3.          

故.                                                          

（Ⅲ）由題設(shè)，.                           

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

所以.                                       

于是.   

因?yàn)镾₁＝3，S₂＝9，S₃＝21，則

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