Question

如圖，在正四棱臺內，以小底為底面．大底面中心為頂點作一內接棱錐．已知棱臺小底面邊長為b，大底面邊長為a，并且棱臺的側面積與內接棱錐的側面面積相等，求這個棱錐的高，并指出有解的條件．

Answer 1

分析：這是棱臺與棱錐的組合體問題，也是立體幾何常見的問題，這類問題的圖形往往比較復雜，要認真分析各有關量的位置和大小關系，因為它們的各量之間的關系較密切，所以常引入方程、函數的知識去解．

解答：解：如圖，過高OO₁和AD的中點E作棱錐和棱臺的截面，得棱臺的斜高EE₁和棱錐的斜高為EO₁，設OO₁=h，∴S錐側=

1

2

•4b•EO1=2bEO1
S臺側=

1

2

(4a+4b)•EE1=2(a+b)•EE1， ∴2bEO1=2(a+b) EE1      ①
∵OO₁E₁E是直角梯形，其中OE=

b

2

，O1E1=

a

2

∴根據勾股定理得，EE12=h2+(

a

2

-

b

2

)2，EO12=h2+(

b

2

)2   ②
①式兩邊平方，把②代入得：b2(h2+

b2

4

)=(a+b)2[h2+(

a

2

-

b

2

)2]
解得h2=

a2(2b2-a2)

4a(a+2b)

，即h=

1

2

a(2b2-a2) a+2b

顯然，由于a＞0，b＞0，所以此題當且僅當a＜

2

b時才有解．

點評：本題考查了在棱臺的問題中：如果與棱臺的斜高有關，則常應用通過高和斜高的截面，如果和棱臺的側棱有關，則需要應用通過側棱和高的截面，要熟悉這些截面中直角梯形的各元素，進而將這些元素歸結為直角三角形的各元素間的運算，這是解棱臺計算問題的基本技能之一．