Question

如圖，已知多面體的底面是邊長為的正方形，底面，，且．
（Ⅰ）求多面體的體積；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）記線段BC的中點為K，在平面ABCD內過點K作一條直線與平面平行，要求保留作圖痕跡，但不要求證明．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅰ）．
（Ⅱ）設直線與平面所成角為，  
（Ⅲ）利用三角形中位線定理，取線段DC的中點，連接即為所求．

試題分析：（Ⅰ）（Ⅰ）連接ED，利用“分割法”計算得．
（Ⅱ）以點A為原點，AB所在的直線為軸，AD所在的直線為軸，建立空間直角坐標系．確定得到A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),及.
利用　　確定平面的一個法向量為.
設直線與平面所成角為， 
（Ⅲ）取線段DC的中點；連接，則直線即為所求．
試題解析：（Ⅰ）如圖，連接ED，
∵底面且，∴底面,
∴,
∵,
∴面,                     1分
∴,         2分
  ,              3分
∴多面體的體積
．              5分
（Ⅱ）以點A為原點，AB所在的直線為軸，AD所在的直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖．由已知可得A(0,0,0),E(0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),F(0,2,1),

所以       7分
設平面ECF的法向量為，
則　　　得：
取y=1,得平面的一個法向量為         9分
設直線與平面所成角為，
所以    11分  
（Ⅲ）取線段CD的中點；連接，直線即為所求．                12分
圖上有正確的作圖痕跡            13分