Question

【題目】已知a是實數，函數f(x)＝ (x－a)．

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)設g(a)為f(x)在區間[0,2]上的最小值．

①寫出g(a)的表達式；

②求a的取值范圍，使得－6≤g(a)≤－2.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】解 (1)函數的定義域為[0，＋∞)，

f′(x)＝＋＝ (x>0)．

若a≤0，則f′(x)>0，f(x)有單調遞增區間[0，＋∞)．

若a>0，令f′(x)＝0，得x＝，

當0<x<時，f′(x)<0，

當x>時，f′(x)>0.

f(x)有單調遞減區間[0，]，有單調遞增區間(，＋∞)．

(2)①由(1)知，若a≤0，f(x)在[0,2]上單調遞增，

所以g(a)＝f(0)＝0.

若0<a<6，f(x)在[0，]上單調遞減，在(，2]上單調遞增，

所以g(a)＝f()＝－.

若a≥6，f(x)在[0,2]上單調遞減，所以g(a)＝f(2)＝ (2－a)．

綜上所述，g(a)＝

②令－6≤g(a)≤－2.若a≤0，無解．

若0<a<6，解得3≤a<6.

若a≥6，解得6≤a≤2＋3.

故a的取值范圍為3≤a≤2＋3.