Question

【題目】已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），設數列f（a1），f（a2），f（a3），…，f（an）…是首項為4，公差為2的等差數列．
（I）設a為常數，求證：{an}成等比數列；
（II）設bn=anf（an），數列{bn}前n項和是Sn ， 當時，求Sn ．

Answer 1

【答案】證明：（I）f（an）=4+（n﹣1）×2=2n+2，
即logaan=2n+2，可得an=a2n+2 ．
∴為定值．
∴{an}為等比數列．
（II）解：bn=anf（an）=a2n+2logaa2n+2=（2n+2）a2n+2 ．
當時，．
Sn=2×23+3×24+4×25++（n+1）2n+2 ①
2Sn=2×24+3×25+4×26++n2n+2+（n+1）2n+3 ②
①﹣②得﹣Sn=2×23+24+25++2n+2﹣（n+1）2n+3
=﹣（n+1）2n+3=16+2n+3﹣24﹣n2n+3﹣2n+3 ．
∴Sn=n2n+3 ．
【解析】（I）先利用條件求出f（an）的表達式，進而求出{an}的通項公式，再用定義來證{an}是等比數列即可；
（II）先求出數列{bn}的通項公式，再對數列{bn}利用錯位相減法求和即可．