Question

已知等比數列{a_n}的通項公式為a_n=3^n-1，設數列{b_n}滿足對任意自然數n都有

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+┅+

bn

an

=2n+1恒成立．
（1）求數列{b_n}的通項公式；  
（2）求b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁的值．

Answer 1

分析：（1）把已知條件中的n換成n-1得到②，相減可得

bn

an

=2，再由a_n=3^n-1求出數列{b_n}的通項公式．
（2）要求的式子即 3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰ ，利用等比數列的前n項和公式，求出要求式子的值．

解答：解：（1）∵對任意正整數n，有

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+┅+

bn

an

=2n+1，①
∴當n≥2時，

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+┅+

bn-1

an-1

=2n-1，②…（4分）
①-②得  

bn

an

=2；  故 b_n=2a_n =2×3^n-1（n≥2）． …（7分）
當n=1時，

b1

a1

=3，
又a₁=1，∴b₁=3．
∴bn=

3，(n=1) 2×3n-1，(n≥2)

． …（10分）
（2）b₁+b₂+b₃+┅+b₂₀₁₁=3+（2×3+2×3²+…+2×3²⁰¹⁰）=3+3（3²⁰¹⁰-1）=3²⁰¹¹．…（15分）

點評：本題主要考查等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式，求得

bn

an

=2，是解題的關鍵，屬于中檔題．