Question

【題目】已知圓，線段、都是圓的弦，且與垂直且相交于坐標原點，如圖所示，設△的面積為，設△的面積為.

（1）設點的橫坐標為，用表示；

（2）求證：為定值；

（3）用、、、表示出，試研究是否有最小值，如果有，求出最小值，并寫出此時直線的方程；若沒有最小值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）有，，或.

【解析】

（1）利用距離公式，即可用表示；

（2）分類討論，計算，即可證明為定值；

（3）由（2）得，同理，利用基本不等式，即可得出結論．

（1）解：設，，代入圓，得，

；

（2）證明：設，，

同理可得，

，設直線的方程為，代入圓的方程得，

，，

代入可得，

，直線過原點，直線的方程為，即，代入可得，

綜上所述，為定值；

（3）解：由（2）得，同理

，當且僅當時取等號，

此時，最小值為3，直線的方程為．