Question

已知A（4，3），且P是雙曲線x²-y²=2上一點，F₂為雙曲線的右焦點，則|PA|+|PF₂|的最小值是

 

．

Answer 1

分析：x²-y²=2⇒

x2

2

-

y2

2

=1⇒實半軸a=

2

，半焦距c=2，從而可求F₂（2，0），利用雙曲線的定義|PF₂|=|PF₁|-2a及不等式即可求得|PA|+|PF₂|的最小值．

解答：解：∵x²-y²=2，
∴

x2

2

-

y2

2

=1，
∴其實半軸a=

2

，半焦距c=2，
∴右焦點F₂（2，0），左焦點F₁（-2，0）；
又A（4，3），P是雙曲線x²-y²=2上一點，

∴當點P在雙曲線

x2

2

-

y2

2

=1右支上時，|PA|+|PF₂|取得最小值，
∴|PF₂|=|PF₁|-2a=|PF₁|-2

2

，
∴|PA|+|PF₂|=|PA|+|PF₁|-2

2

≥|AF₁|-2

2

=

[4-(-2)]2+(3-0)2

-2

2

=3

5

-2

2

．
故答案為：3

5

-2

2

．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，由雙曲線的定義將|PF₂|轉化為|PF₂|=|PF₁|-2a是關鍵，考查分析與運算能力，屬于中檔題．