Question

如圖，焦距為的橢圓的兩個頂點分別為和，且與n，共線．

（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓有兩個不同的交
點和，且原點總在以為直徑的圓的內部，求實數的取值范圍．

Answer 1

(1)  ;(2)

試題分析：（1）根據橢圓方程寫出頂點的坐標，然后寫出的坐標,利用兩向量共線的充要條件：,得與的關系，結合,解出與,求出橢圓的方程;（2）設直線，與橢圓有兩個不同的交點和,設,將直線方程代入橢圓方程，消去,得到關于的方程，由兩個不同交點，,并且得到與,原點總在以為直徑的圓的內部，為鈍角，即,整理，代入根與系數的關系，比較得出的取值范圍.
試題解析：（1）解：設橢圓的標準方程為，由已知得，，，，所以，，
因為與n，共線，所以，     2分
由，解得，，
所以橢圓的標準方程為.        4分
（2）解：設，，，，把直線方程代入橢圓方程，
消去，得，
所以，，     8分
，即 （*）       9分
因為原點總在以為直徑的圓的內部，
所以，即，     10分
又，
由得，     13分
依題意且滿足（*）得  
故實數的取值范圍是，.       14分