Question

已知直線l₁：ax-y+1=0與l₂：x+ay+1=0（a∈R），給出如下結論：
①不論a為何值時，l₁與l₂都互相垂直；
②不論a為何值時，l₁與l₂都關于直線x+y=0對稱；
③當a變化時，l₁與l₂分別經過定點A（0，1）和B（-1，0）；
④當a變化時，l₁與l₂的交點軌跡是以AB為直徑的圓（除去原點）．
其中正確的結論有

①③④

．（把你認為正確結論的序號都填上）

Answer 1

分析：①l₁與l₂垂直時，利用兩直線垂直的充要條件可判斷；
②在l₁上任取點（x，ax+1），關于直線x+y=0對稱的點的坐標為（-ax-1，-x），代入l₂：x+ay+1=0的左邊，可得不為0，故可判斷；
③對于直線l₁與l₂分別令x=0，y=0，即可知直線恒過定點；
④聯立方程，消去參數，由方程可確定l₁與l₂的交點軌跡．

解答：解：①a×1-1×a=0恒成立，l₁與l₂垂直恒成立，故①正確；
②在l₁上任取點（x，ax+1），關于直線x+y=0對稱的點的坐標為（-ax-1，-x），
代入l₂：x+ay+1=0的左邊，顯然不為0，故②不正確；
③直線l₁：ax-y+1=0，當a變化時，x=0，y=1恒成立，所以l₁經過定點A（0，1）；
l₂：x+ay+1=0，當a變化時，y=0，x=-1恒成立，所以l₂經過定點B（-1，0），故③正確；
④聯立直線l₁：ax-y+1=0與l₂：x+ay+1=0，消去參數a可得：x²+x+y²-y=0（x≠0，y≠0），
∴當a變化時，l₁與l₂的交點軌跡是以AB為直徑的圓（除去原點），故④正確．
故答案為：①③④

點評：本題以直線為載體，考查兩直線的位置關系，考查直線的對稱性，考查直線恒過定點，考查軌跡，綜合性，需一一判斷．