Question

如圖，橢圓的長軸A₁A₂與x軸平行，短軸B₁B₂在y軸上，中心為M(0，r)(b>r>0)．

（1）寫出橢圓的方程，求橢圓的焦點坐標及離心率；

（2）直線y=k₁x交橢圓于兩點C(x₁，y₁)，D(x₂，y₂)(y₂>0)；直線y=k₂x交橢圓于兩點G(x₃，y₃)，H(x₄，y₄)(y₄>0)．求證；

（3）對于（2）中的C、D、G、H，設CH交x軸于點P，GD交x軸于點Q．求證：|OP|=|OQ|．（證明過程不考慮CH或GD垂直于x軸的情形）

Answer 1

答案：
解析：

（1）解：橢圓方程為，焦點坐標為，，離心率． （2）證明：將直線CD的方程y=k1x代入橢圓方程，得b2x2+a2(k1x-r)2=a2b2，整理得(b2+)x2-2a2rx(a2r2-a2b2)=0．根據韋達定理，得 ，  所以，       ① 將直線GH的方程y=x代入橢圓方程，同理可得， 由①、②得所以結論成立． （3）證明：設點P(p，0)，點Q(q，0)，由C、P、H共線，得，解得，由D、Q、G共線，同理可得由，變形得 即 所以|p|=|q|，即|OP|=|OQ|．

提示：

本小題主要考查直線與橢圓等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力．