Question

（山東卷文21）設函數，已知和為的極值點．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）討論的單調性；

（Ⅲ）設，試比較與的大小．

Answer 1

【試題解析】

（Ⅰ）因為，

又和為的極值點，所以，

因此解方程組得，．

（Ⅱ）因為，，所以，

令，解得，，．

因為當時，；

當時，．

所以在和上是單調遞增的；在和上是單調遞減的．

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，

故，令，則．

令，得，因為時，，

所以在上單調遞減．故時，；

因為時，，所以在上單調遞增．

故時，．

所以對任意，恒有，又，因此，

故對任意，恒有．