Question

今有甲、乙兩個籃球隊進行比賽，比賽采用7局4勝制．假設甲、乙兩隊在每場比賽中獲勝的概率都是

1

2

．并記需要比賽的場數為X．
（Ⅰ）求X大于5的概率；
（Ⅱ）求X的分布列與數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意可知，X的可能取值最小為4．當X=4時，整個比賽只需比賽4場即結束，這意味著甲連勝4場，或乙連勝4場，可得X=4的概率；當X=5時，需要比賽5場整個比賽結束，意味著甲在第5場獲勝，前4場中有3場獲勝，或者乙在第5場獲勝，前4場中有3場獲勝．可得X=5的概率，從而得出X大于5的概率．
（II）由于X的可能取值為4，5，6，7，可得X的分布列，由公式即可得出籃球隊在6場比賽中需要比賽的場數為X的期望．

解答：解：（Ⅰ）依題意可知，X的可能取值最小為4．
當X=4時，整個比賽只需比賽4場即結束，這意味著甲連勝4場，或乙連勝4場，
可得P(X=4)=2×(

1

2

)4×(

1

2

)0=

1

8

．
當X=5時，需要比賽5場整個比賽結束，意味著甲在第5場獲勝，前4場中有3場獲勝，或者乙在第5場獲勝，前4場中有3場獲勝．
可得P(X=5)=2×[

C

3 4

×(

1

2

)3×

1

2

]×

1

2

=

1

4

．
所以P(X＞5)=1-

1

8

-

1

4

=

5

8

． 　　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）X的可能取值為4，5，6，7，可得P(X=6)=2×[

C

3 5

×(

1

2

)3×(

1

2

)2]×

1

2

=

5

16

；P(X=7)=2×[

C

3 6

×(

1

2

)3×(

1

2

)3]×

1

2

=

5

16

．
所以X的分布列為：

X	4	5	6	7
P	1 8	1 4	5 16	5 16

X的數學期望為：EX=4×

1

8

+5×

1

4

+6×

5

16

+7×

5

16

=

93

16

．

點評：本題考查二項分布與n次獨立重復試驗的模型，考查根據所給的事件類型選擇概率模型的方法，以及用概率模型求概率與期望的能力．