Question

已知函數f（x）=lg（1+2x），F（x）=f（x）-f（-x）．
（1）求函數F（x）的定義域；
（2）當0≤x＜

1

2

時，總有F（x）≥m成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可知：1+2x＞0且1-2x＞0，可求函數F（x）的定義域
（2）由題意可知F(x)=lg

1+2x

1-2x

，由F（x）≥m成立，則只要m≤F（x）_min，結合對數函數的性質可求

解答：解：（1）由題意可知：F（x）=lg（1+2x）-lg（1-2x），
∴1+2x＞0且1-2x＞0，
即-

1

2

＜x＜

1

2

，
所以函數F（x）的定義域是(-

1

2

，

1

2

)；
（2）由題意可知F(x)=lg

1+2x

1-2x

，
設u(x)=

1+2x

1-2x

，則有 u(x)=-1+

2

1-2x

；
當0≤x＜

1

2

時有：0≤2x＜1，即-1＜-2x≤0，
則有0＜1-2x≤1，則

1

1-2x

≥1，
故而

2

1-2x

≥2，-1+

2

1-2x

≥1；
∴u（x）_min=1，F（x）_min=lg1=0；
又由題意可得：m≤F（x）_min，
∴m≤0．

點評：本題主要考查了對數函數定義域的求解，函數恒成立與函數最值的相互轉化，復合函數的值域的求解，屬于綜合試題