Question

如圖，是某直三棱柱（側棱與底面垂直）被削   去上底后的直觀圖與三視圖的側視圖、俯視圖．在直觀圖中，M是BD的中點．側視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示．
（Ⅰ）求出該幾何體的體積；
（Ⅱ）求證：EM∥平面ABC；
（Ⅲ）試問在棱DC上是否存在點N，使NM⊥平面BDE？若存在，確定點N的位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由圖可以看出，幾何體可以看作是以點B為頂點的四棱錐，其與底面積易求；
（II）證明線EM與面ABC中一線平行即可利用線面平行的判定定理得出線面平行，由圖形易得，可構造平行四邊形證明線線平行，取BD中點M，EM，MG，AG，即可；
（III）本題是個存在問題，解法一：可先根據題設中的條件，推斷圖形中的位置關系并確定點的位置，再進行證明．
解法二：解決本題最好用向量法，建立空間坐標系，依據題設條件直接給出點的坐標，用向量表示出位置關系對應的方程，進行求解，若解出的坐標存在于所要求的位置，則說明存在．

解答：解：（Ⅰ）證明：由題意，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，AE∥DC，AE=2，DC=4，AB⊥AC，且AB=AC=2
∵EA⊥平面ABC，
∴EA⊥AB，又AB⊥AC，∴AB⊥平面ACDE
∴四棱錐B-ACDE的高h=AB=2，梯形ACDE的面積S=6
∴VB-ACDE=

1

3

•S•h=4，
即所求幾何體的體積為4（4分）
（Ⅱ）證明：∵M為DB的中點，取BC中點G，連接EM，MG，AG，
∴MG∥DC，且MG=

1

2

DC∴MG₌^∥AE，
∴四邊形AGME為平行四邊形，
∴EM∥AG，又AG⊆平面ABC∴EM∥平面ABC．（8分）
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）知，EM∥AG，
又∵平面BCD⊥底面ABC，AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD
∴EM⊥平面BCD，又∵EM?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面BCD
在平面BCD中，過M作MN⊥DB交DC于點N，
∴MN⊥平面BDE，點N即為所求的點，
∵△DMN∽△DCB∴

DN

DB

=

DM

DC

    即   

DN

2 6

=

6

4

    ∴   DN=3∴DN=

3

4

DC
∴邊DC上存在點N，滿足DN=

3

4

DC時，有NM⊥平面BDE．（13分）
解法2：以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（0，0，0），B（0，2，0），C（-2，0，0）
D（-2，0，4），E（0，0，2），M（-1，1，2），

DB

=（2，2，-4），

DE

=（2，0，-2），

DC

=（0，0，-4），

DM

=（1，1，-2）．
假設在DC邊上存在點N滿足題意

設   DN =λ DC =(0，0，-4λ)，  λ∈[0，1]， 則   NM = DM - DN =(1，1，-2)-(0，0，-4λ)=(1，1，-2+4λ). ∵MN⊥平面BDE，  ∴     NM • DB =0 NM • DE =0 ，   即     2+2+8-16λ=0 2+4-8λ=0 ， 解之得λ= 3 4 ∈[0，1].

∴邊DC上存在點N，滿足DN=

3

4

DC時，NM⊥平面BDE．（13分）

點評：本題是一個立體幾何綜合題，涉及到了求幾何體的體積，證線面平行，確定線面垂直的條件，涉及到的定理與技巧較多，對答題者的空間感知能力，問題的轉化能力要求較高，難度較大．