Question

已知直線x+2y+m=0（m∈R）與拋物線C：y²=x相交于不同的兩點A，B．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）在拋物線C上是否存在一點P，對（1）中任意m的值，都有直線PA與PB的傾斜角互補？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）聯立直線x+2y+m=0（m∈R）和拋物線C：y²=x，并整理得y²+2y+m=0，由判別式△=4-4m＞0，知實數m的取值范圍{m|m＜1}．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀） 由題意知kpA=

y1-y0

x1-x0

，kPB=

y2-y0

x2-x0

，

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

=0，由此可知存在P（1，1），使得對（1）中任意的m的值，都有直線PA與PB的斜率互為相反數．

解答：解：（1）聯立直線x+2y+m=0（m∈R）和拋物線C：y²=x，并整理得y²+2y+m=0，
∵直線x+2y+m=0（m∈R）與拋物線C：y²=x相交于不同的兩點A，B．
∴判別式△=4-4m＞0，∴m＜1，即實數m的取值范圍{m|m＜1}．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀）
kpA=

y1-y0

x1-x0

，
kPB=

y2-y0

x2-x0

y1-y0

x1-x0

+

y2-y0

x2-x0

=0，
∴y₁²=x₁，y₂²=x₂，y₀²=x₀

1

y1+y0

+

1

y2+y0

=0，∴-2y₀=y₁+y₂
由（1）得：y₀=1
y₀=x₀=1
所以存在P（1，1），使得對（1）中任意的m的值，都有直線PA與PB的斜率互為相反數．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．