Question

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點C在l上．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（Ⅱ）設過點P，且斜率為-的直線與曲線M相交于A，B兩點．
（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由；
（ii）當△ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用條件直接代入拋物線的標準方程即可．
（Ⅱ）（i）先求出點A，B的坐標，再把點C設出來，利用△ABC為正三角形對應的|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，看能否求出點C的坐標即可．
（ii）分三種情況分別求當△ABC為鈍角三角形時，對應點C的縱坐標的取值范圍即可．
解答：解：（Ⅰ）依題意，曲線M是以點P為焦點，
直線l為準線的拋物線，所以曲線M的方程為y²=4x．
（Ⅱ）（i）由題意得，
直線AB的方程為由
消y得3x²-10x+3=0，解得．
所以A點坐標為，
B點坐標為（3，），．
假設存在點C（-1，y），
使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
即①②
由①-②得，
解得．
但不符合①，
所以由①，②組成的方程組無解．
因此，直線l上不存在點C，
使得△ABC是正三角形．
（ii）設C（-1，y）使△ABC成鈍角三角形，
由得，
即當點C的坐標為（-1，）時，A，B，C三點共線，
故．
又，
，
．
當|BC|²＞|AC|²+|AB|²，
即，
即時，∠CAB為鈍角．
當|AC|²＞|BC|²+|AB|²，
即，
即時∠CBA為鈍角．
又|AB|²＞|AC|²+|BC|²，
即，
即．
該不等式無解，所以∠ACB不可能為鈍角．
因此，當△ABC為鈍角三角形時，
點C的縱坐標y的取值范圍是或．
點評：本小題主要考查直線、圓與拋物線的基本概念及位置關系，考查運用解析幾何的方法解決數學問題的能力．