Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若，討論的單調性；

（Ⅱ）若函數的圖象上存在不同的兩點，使得直線的斜率成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）當時， 的減區間是，無增區間，當時， 的增區間是，減區間是，當時， 的增區間是，減區間是.

（Ⅱ）。

【解析】試題分析：（Ⅰ）先求函數的導數，再對參數進行分類討論，分別確定其單調性并求出其單調區間，（Ⅱ）先運用斜率公式將不等式等價轉化為，進而轉化為不等式恒成立，然后構造函數，借助導數及其單調性建立不等式進行求解：

解：（Ⅰ） 的定義域為，當時，

，

（ⅰ）若，即時， 恒成立， 在上是減函數；

（ⅱ）若，即時， 時， 是增函數，

時， ， 是減函數，

時， ， 是減函數；

（ⅲ）若，即， 時， ， 是增函數，

時， ， 是減函數，

時， ， 是減函數；

綜上可得，當時， 的減區間是，無增區間，

當時， 的增區間是，減區間是，

當時， 的增區間是，減區間是.

（Ⅱ）假設的圖象上不存在兩點，使得直線的斜率成立，

則對的圖象上任意兩點，都有成立，

即恒成立，即恒成立，

因為，所以，

所以是減函數， 恒成立，

因為，所以恒成立，

因為，所以.

即若對的圖象上任意兩點，都有成立，則，

所以若的圖象上不存在兩點，使得直線的斜率成立，

則 ，即實數的取值范圍是.