Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），直線l過(guò)點(diǎn)A（a，0）和
B（0，b）．
（1）以AB為直徑作圓M，連接MO并延長(zhǎng)，與橢圓C的第三象限部分交于N，若直線NB是圓M的切線，求橢圓的離心率；
（2）已知三點(diǎn)D（4，0），E（0，3），G（4，3），若圓M與△DEG恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）欲求橢圓的離心率，只需找到a，c的齊次式，根據(jù)直線NB是圓M的切線，則直線NB與直線AB垂直，斜率等于AB斜率的負(fù)倒數(shù)，得到直線NB的方程，再求出直線MO的方程，與直線NB聯(lián)立，解為N點(diǎn)坐標(biāo)，又因?yàn)镹點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，即可得到含a，c的方程，解出離心率．
（2）圓M與△DEG恰有一個(gè)公共點(diǎn)，圓M與直線DE相切圓在直線DE的下方，由此可得兩個(gè)含a，b的方程，解方程組可得．

解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，b），∴M（

a

2

，

b

2

）
∴直線MO方程為y=

b

a

x
∵直線AB斜率為-

b

a

，直線NB是圓M的切線，∴直線NB的斜率為

a

b

∴直線NB方程為y=

a

b

x+b
由

y= b a x y= a b x+b

得N（

ab2

b2-a2

，

b3

b2-a2

）
又∵N點(diǎn)在橢圓上

x2

a2

+

y2

b2

=1，∴

( ab2 b2-a2 )2

a2

+

( b3 b2-a2 )2

b2

=1
化簡(jiǎn)，得2b⁴=（b²-a²）²
2a⁴-4a²c²+c⁴=0，∴e⁴-4e²+2=0
e²=2-

2

，∴e=

2- 2

（2）∵圓M與△DEG恰有一個(gè)公共點(diǎn)，∴圓M與直線DE相切圓在直線DE的下方，
∴b=

3

4

a，
直線DE的方程為

x

4

+

y

3

=1，即3x+4y-12=0
∴

|3× a 2 +4× b 2 -12|

32 +42

=

a2+ b2

2

把b=

3

4

a代入，化簡(jiǎn)，得，a=2，∴b=

3

2

橢圓方程為

x2

4

+

4y2

9

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓離心率的求法，以及橢圓與圓的綜合問(wèn)題，綜合性強(qiáng)．