Question

如圖，直三棱柱OAB-O₁A₁B₁中，∠AOB=90°，M是側棱BB₁上一點，向量是平面OA₁M的一個法向量，則平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角為    （結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

【答案】分析：由已知中，向量是平面OA₁M的一個法向量，結合直三棱柱OAB-O₁A₁B₁中，∠AOB=90°，易得=（0，0，1）為面OAB的一個法向量，代入向量夾角公式，求出平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角的余弦值，進而可用反三角函數表示出平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角．
解答：解：∵棱柱OAB-O₁A₁B₁為直三棱柱
∴OO₁⊥平面∠OAB，
結合∠AOB=90°，可以以O的坐標原點，建立如圖空間坐標系
則=（0，0，1）為面OAB的一個法向量
又∵向量是平面OA₁M的一個法向量
設平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角為θ，則
cosθ==
故平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角為arccos
故答案為：arccos
點評：本題考查的知識點是與二面角有關的立體幾何綜合題，其中建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵，在解答中易忽略所求出平面OAB與平面OA₁M所成二面角的銳角，而錯解為arccos-．