Question

【題目】設數列{an}滿足a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= ，n∈N* ．
（1）求數列{an}的通項；
（2）設 ，求數列{bn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= ，①

∴當n≥2時，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1= ．②

①﹣②，得3n﹣1an= ，

所以 （n≥2），

在①中，令n=1，得 也滿足上式．

∴ ．

（2）解：∵ ，

∴bn=n3n．

∴Sn=3+2×32+3×33+…+n3n．③

∴3Sn=32+2×33+3×34+…+n3n+1．④

④﹣③，得2Sn=n3n+1﹣（3+32+33+…+3n），

即2Sn=n3n+1﹣ ．

∴

【解析】（1）由a1+3a2+32a3+…+3n﹣1an= 當n≥2時，a1+3a2+32a3+…+3n﹣2an﹣1= ，兩式作差求出數列{an}的通項．（2）由（1）的結論可知數列{bn}的通項．再用錯位相減法求和即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．