Question

設圓C₁：x²+y²-10x-6y+32=0，動圓C₂：x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0，
（Ⅰ）求證：圓C₁、圓C₂相交于兩個定點；
（Ⅱ）設點P是橢圓上的點，過點P作圓C₁的一條切線，切點為T₁，過點P作圓C₂的一條切線，切點為T₂，問：是否存在點P，使無窮多個圓C₂，滿足PT₁=PT₂？如果存在，求出所有這樣的點P；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）化簡動圓C₂確定它過的定點，在圓C₁上即可．
（Ⅱ）設存在，再設P的坐標，求出PT₁，PT₂令其相等，求得關系式，P適合橢圓方程，可求得P的坐標．
解答：解：（Ⅰ）將方程x²+y²-2ax-2（8-a）y+4a+12=0化為x²+y²-16y+12+（-2x+2y+4）a=0，
令得或，
所以圓C₂過定點（4，2）和（6，4），（4分）
將代入x²+y²-10x-6y+32=0，
左邊=16+4-40-12+32=0=右邊，
故點（4，2）在圓C₁上，同理可得點（6，4）也在圓C₁上，
所以圓C₁、圓C₂相交于兩個定點（4，2）和（6，4）；（6分）
（2）設P（x，y），則，（8分），（10分）
PT₁=PT₂即-10x-6y+32=-2ax-2（8-a）y+4a+12，
整理得（x-y-2）（a-5）=0（*）（12分）
存在無窮多個圓C₂，滿足PT₁=PT₂的充要條件為有解，
解此方程組得或，（14分）
故存在點P，使無窮多個圓C₂，滿足PT₁=PT₂，點P的坐標為．（16分）
點評：本題考查圓與圓的位置關系，考查存在性問題，分析問題和解決問題的能力，是難題．