Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD，且PD=AD=1，AB=2，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE等于何值時(shí)，二面角P-EC-D的平面角為

π

4

．

Answer 1

分析：有題中的條件，可建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，利用構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面與其平面的法向量之間的關(guān)系，利用二面角的大小建立點(diǎn)E的坐標(biāo)未知量的方程進(jìn)而求解．

解答：解：如圖，以D為原點(diǎn)，射線DA、DC、DP為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則P（0，0，1），C（0，2，0），設(shè)E（1，y₀，0），則

EC

=(-1，2-y0，0)，
設(shè)平面PEC的法向量為 

n1

=(x，y，z)∴

n1 • EC =0 n1 • PC =0

?

-x+y(2-y0)=0 2y-z=0

解之得x：y：z=（2-y₀）：1：2，
記

n1

=（2-y₀，1，2），而平面ECD的法向量

n2

=（0，0，1），
二面角P-EC-D的平面角θ=＜

n1

，

n2

＞=

π

4

，
∴cosθ=

n1 • n2

| n1 |•| n2|

=

2

(2- y0)2+1+4 • 1

=

2

2

，
∴y0=AE=2-

3

．
∴當(dāng)AE=2-

3

時(shí)，二面角P-EC-D的平面角為

π

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了利用空間向量借助平面的法向量的夾角與二面角的大小之間的關(guān)系，同時(shí)還考查了利用方程的思想解出未知的變量．