Question

設圓C位于拋物線y²=2x與直線x=3所圍成的封閉區域（包含邊界）內，則圓C的半徑能取到的最大值為    ．

Answer 1

【答案】分析：當圓C半徑取最大值時，由對稱性知，圓心C應在x軸上區間（0，3）內，且圓C與直線x=3相切，設出圓的方程，與拋物線方程聯立，進而利用圓C與拋物線相切，判別式為0，可求得結論．
解答：解：當圓C半徑取最大值時，由對稱性知，圓心C應在x軸上區間（0，3）內，且圓C與直線x=3相切，
設此時圓心為（a，0）（0＜a＜3），則圓C方程為（x-a）²+y²=（3-a）²?，把y²=2x代入其中得，（x-a）²+2x=（3-a）²?，
即x²+2（1-a）x+6a-9=0，
∵圓C與拋物線相切，判別式△=[2（1-a）]²-4（6a-9）=0，
∴（1-a）²-6a+9=0，
∴a²-8a+10=0，
∵0＜a＜3
∴a=4-，
∴圓C半徑能取到的最大值為3-a=3-（4-）=
故答案為：
點評：本題以直線與拋物線為載體，考查圓與圓錐曲線的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，綜合性強．