Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n=2-S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂，a₃，a₄的值并寫出其通項公式；
（Ⅱ）用三段論證明數列{a_n}是等比數列．

Answer 1

考點：進行簡單的演繹推理,數列的概念及簡單表示法

專題：規律型

分析：（I）由已知中數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n=2-S_n（n∈N^*）．將n=1，2，3，4分別代入，可得a₁，a₂，a₃，a₄的值，分析規律后，可得a_n的表達式．
（Ⅱ）將等比數列的定義做為大前提，（I）中猜想做為小前提，可得結論：{a_n}是等比數列．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n=2-S_n，
當n=1時，a₁=2-S₁=2-a₁，解得：a₁=1，
當n=2時，a₂=2-S₂=2-a₁-a₂，解得：a₂=

1

2

，
當n=3時，a₃=2-S₃=2-a₁-a₂-a₃，解得：a₃=

1

4

，
當n=4時，a₄=2-S₄=2-a₁-a₂-a₄-a₄，解得：a₄=

1

8

，
…
由此歸納推理得：a_n=(

1

2

)n-1，（n∈N^*）． …（6分）
（Ⅱ）∵通項公式為a_n的數列{a_n}，
若

an+1

an

=p，p是非零常數，則{a_n}是等比數列；
因為通項公式a_n=(

1

2

)n-1，
又

an+1

an

=

1

2

；
所以通項公式a_n=(

1

2

)n-1的數列{a_n}是等比數列．…（12分）

點評：本題考查的知識點是歸納推理和演繹推理，熟練掌握兩種推理的定義和適用范圍，是解答的關鍵．