Question

【題目】已知，拋物線： 與拋物線： 異于原點的交點為，且拋物線在點處的切線與軸交于點，拋物線在點處的切線與軸交于點，與軸交于點.

（1）若直線與拋物線交于點， ，且，求拋物線的方程；

（2）證明： 的面積與四邊形的面積之比為定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（１）聯立直線方程與拋物線方程，根據弦長公式以及韋達定理得等量關系，求出p，（２）先求M坐標，再求直線方程，進而求得A,B,C坐標，即得面積，最后作商.

試題解析：（1）解：由，消去得.

設， 的坐標分別為， ，

則， .

∴ ，∵，∴.

故拋物線的方程為.

（2）證明：由，得或，則.

設直線： ，與聯立得.

由，得，∴.

設直線： ，與聯立得.

由，得，∴.

故直線： ，直線： ，

從而不難求得， ， ，

∴， ，∴的面積與四邊形的面積之比為（為定值）.