Question

【題目】已知函數，。

（1）若在處和圖象的切線平行，求的值；

（2）設函數，討論函數零點的個數。

Answer 1

【答案】（1）；（2）時，沒有零點；時，有個零點；時，有個零點；時，有個零點；時，有個零點。

【解析】

試題分析：（1），，切線平行，即斜率相等，把零代入可計算得；（2）對分成三類進行分類討論.當時，，在單增，，，故時，沒有零點. 當時，顯然有唯一的零點.當時，又分成三類進行討論。

試題解析：

（1），，，由，得，所以，即。

（2）（1）當時，，在單增，，故時，沒有零點。

（2）當時，顯然有唯一的零點。

（3）當時，設，，令有，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以，，即。，，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴，

（當且僅當等號成立），

∴有兩個根（當時只有一個根），

在單增，令，，為減函數，故，∴，∴只有一個根。

∴時有3個零點；時有2個零點；時，有3個零點。綜合以上討論：時，沒有零點；時有1個零點；時有3個零點；時有2個零點；時，有3個零點。