Question

已知函數f(x)=

x2

1+x2

（1）求f（2）與f(

1

2

)，f（3）與f(

1

3

)的值；
（2）由（1）中求得的結果，你能發現f（x）與f(

1

x

)有什么關系？證明你的發現；
（3）求f（1）+f（2）+f（3）+…+f(2012)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

2012

)的值．

Answer 1

分析：（1）直接代入計算即可；
（2）發現f（x）+f(

1

x

)=1，代入化簡即可證明；
（3）利用（2）的結論即可得出．

解答：解：（1）f（2）=

22

1+22

=

4

5

，f(

1

2

)=

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

1

5

；
f(3)=

32

1+32

=

9

10

，f(

1

3

)=

( 1 3 )2

1+( 1 3 )2

=

1

10

．
（2）由（1）可得：f(x)+f(

1

x

)=1，證明如下：
f(x)+f(

1

x

)=

x2

1+x2

+

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=

x2+1

1+x2

=1．
（3）f（1）+f（2）+f（3）+…+f(2012)+f(

1

2

)+f(

1

3

)+…+f(

1

2012

)
=f（1）+[f(2)+f(

1

2

)]+[f(3)+f(

1

3

)]+…+[f(2012)+f(

1

2012

)]
=

1

2

+2011=

4023

2

．

點評：本題考查了分式的化簡與證明、探究發現規律即證明應用，屬于中檔題．